Tok in kroženje vektorskega polja

N Na podlagi predavanj Richarda Feynmana

Pri opisovanju zakonov električne energije z vektorskimi polji se soočamo z dvema matematično pomembnima značilnostima vektorskega polja: pretokom in cirkulacijo. Lepo bi bilo razumeti, kaj so ti matematični koncepti in kakšen je njihov praktični pomen.

Na drugi del vprašanja je enostavno odgovoriti takoj, ker sta v središču koncepta pretoka in kroženja Maxwellove enačbe, na katerem pravzaprav sloni vsa sodobna elektrodinamika.

Tako lahko na primer zakon elektromagnetne indukcije formuliramo na naslednji način: kroženje električnega polja E vzdolž zaprte zanke C je enako hitrosti spremembe toka magnetnega polja B skozi površino S, ki jo omejuje ta zanka B.

V nadaljevanju bomo na preprostih in tekočih primerih opisali, kako so matematično določene značilnosti polja, iz katerih so te značilnosti polja vzete in pridobljene.

Tok vektorskega polja

Za začetek narišimo določeno zaprto ploskev povsem poljubne oblike okoli preučevanega območja. Po upodobitvi te ploskve se vprašamo, ali predmet preučevanja, ki ga imenujemo polje, teče skozi to sklenjeno ploskev. Da bi razumeli, za kaj gre, razmislite o preprostem tekočem primeru.

Recimo, da raziskujemo polje hitrosti določene tekočine. Za takšen primer se je smiselno vprašati: ali gre skozi to površino na časovno enoto več tekočine, kot je teče v prostornino, ki jo omejuje ta površina? Z drugimi besedami, ali je stopnja odtoka vedno usmerjena predvsem od znotraj navzven?

Z izrazom "pretok vektorskega polja" (in za naš primer bo izraz "pretok hitrosti tekočine" natančnejši) se strinjamo, da poimenujemo celotno količino namišljene tekočine, ki teče skozi površino obravnavane prostornine, omejene z danim a zaprta površina (za pretok tekočine, koliko tekočine sledi iz prostornine na časovno enoto).

Posledično bo tok skozi površinski element enak zmnožku površine površinskega elementa s pravokotno komponento hitrosti. Takrat bo skupni (totalni) fluks po vsej površini enak produktu povprečne normalne komponente hitrosti, ki jo bomo šteli od znotraj navzven, s skupno površino.

Zdaj pa nazaj k električnemu polju. Električnega polja seveda ne moremo šteti za hitrost toka neke tekočine, vendar imamo pravico uvesti matematični koncept toka, podoben tistemu, kar smo zgoraj opisali kot tok hitrosti tekočine.

Samo v primeru električnega polja je njegov tok mogoče določiti s povprečno normalno komponento jakosti električnega polja E. Poleg tega lahko tok električnega polja določimo ne nujno skozi zaprto površino, ampak skozi katero koli omejeno površino neničelnega območja S .

Kroženje vektorskega polja

Vsem je dobro znano, da so polja za večjo jasnost lahko prikazana v obliki tako imenovanih silnic, v vsaki točki katerih smer tangente sovpada s smerjo jakosti polja.

Vrnimo se k analogiji s tekočino in si zamislimo polje hitrosti tekočine.Postavimo si vprašanje: ali tekočina kroži? Se pravi, ali se premika predvsem v smeri neke namišljene zaprte zanke?

Za večjo jasnost si predstavljajte, da se tekočina v veliki posodi nekako premika (slika A) in smo nenadoma zamrznili skoraj vso njeno prostornino, vendar smo uspeli pustiti prostornino nezamrznjeno v obliki enakomerno zaprte cevi, v kateri ni trenje tekočine na stenah (slika b).

Zunaj te cevi se je tekočina spremenila v led in se zato ne more več premikati, znotraj cevi pa lahko tekočina nadaljuje svoje gibanje, pod pogojem, da prevladuje zagon, ki jo žene, na primer, v smeri urinega kazalca (sl. .°C). Nato zmnožek hitrosti tekočine v cevi in ​​dolžine cevi imenujemo kroženje hitrosti tekočine.

Podobno lahko definiramo kroženje za vektorsko polje, čeprav spet ne moremo reči, da je polje hitrost česar koli, kljub temu pa lahko definiramo matematično značilnost "kroženja" vzdolž konture.

Torej lahko kroženje vektorskega polja vzdolž namišljene sklenjene zanke definiramo kot produkt povprečne tangencialne komponente vektorja v smeri prehoda zanke - z dolžino zanke.