Osnove in zakoni algebre logike

Irski matematik iz sredine 19. stoletja George Bull razvil algebro logike ("Študij zakonov mišljenja"). Zato se imenuje tudi algebra logike boolovska algebra.

Z dajanjem črkovnih oznak, izražanjem operacij logičnih transformacij v simbolih dejanj in uporabo pravil in aksiomov, vzpostavljenih za ta dejanja, algebra logike omogoča, da se postopek sklepanja pri reševanju problema, podanega v smislu logike stavkov, v celoti opiše v algoritmih , to je imeti matematično napisan program, ki rešuje ta problem.

Za označevanje resničnosti ali lažnosti izjav (to je za uvedbo vrednosti za vrednotenje izjav) algebra logike uporablja binarni sistem, primeren v tem primeru. Če je izjava resnična, ima vrednost 1, če je napačna, ima vrednost 0. Za razliko od binarnih števil logične 1 in 0 ne izražajo količine, temveč stanje.

Torej, v električnih vezjih, opisanih z Boolovo algebro, kjer je 1 prisotnost napetosti in 0 njena odsotnost, je dobava napetosti iz več virov v eno vozlišče vezja (to je prihod več logičnih enot tega) prikazuje tudi kot logično enoto, ki ne označuje skupne napetosti v vozlišču, temveč le njeno prisotnost.

Pri opisovanju vhodnih in izhodnih signalov logičnih vezij se uporabljajo spremenljivke, ki imajo vrednosti samo logične 0 ali 1. Določena je odvisnost izhodnih signalov od vhoda logična operacija (funkcija)… Označimo vhodni spremenljivki z X1 in X2, izhod, dobljen z logično operacijo nad njima, pa z y.

Premisli tri osnovne elementarne logične operacije, s pomočjo katerih je mogoče opisati vse bolj kompleksne.

1. Operacija ALI — logično seštevanje:

Glede na vse možne vrednosti spremenljivk lahko definiramo operacijo ALI kot zadostnost vsaj ene enote v vhodu, da proizvede eno v izhodu. Ime operacije je razloženo s semantičnim pomenom unije ALI v stavku: "Če je ALI en vhod ALI je drugi en, potem je izhod en."

2. Operacija IN — logično množenje:

Iz upoštevanja celotnega nabora vrednosti spremenljivk je operacija IN definirana kot potreba po ujemanju vseh enih na vhodih, da se na izhodu dobi ena: »Če je AND en vhod, drugi pa enice, potem rezultat je eden. «

3. Operacija NE — logična negacija ali inverzija. Označena je s črtico nad spremenljivko.

Ko je obrnjena, je vrednost spremenljivke obrnjena.

Osnovni zakoni logične algebre:

1. Zakon ničelne množice: produkt poljubnega števila spremenljivk izgine, če je katera od spremenljivk enaka nič, ne glede na vrednosti drugih spremenljivk:

2. Zakon univerzalne množice — vsota poljubnega števila spremenljivk postane ena, če ima vsaj ena od spremenljivk vrednost ena, ne glede na druge spremenljivke:

3. Zakon ponavljanja — ponovljene spremenljivke v izrazu je mogoče izpustiti (z drugimi besedami, v Boolovi algebri ni potenciranja in množenja z numeričnim koeficientom):

4. Zakon dvojne inverzije — dvakrat izvedena inverzija je prazna operacija:

5. Zakon komplementarnosti — zmnožek vsake spremenljivke in njene inverzne spremenljivke je nič:

6. Vsota vsake spremenljivke in njene recipročne vrednosti je ena:

7. Zaščitni zakoni — rezultat izvajanja operacij množenja in seštevanja ni odvisen od vrstnega reda, v katerem sledijo spremenljivke:

8. Združeni zakoni — med operacijami množenja in seštevanja so lahko spremenljivke razvrščene v poljubnem vrstnem redu:

9. Distribucijski zakoni — skupni koeficient je dovoljeno dati izven oklepaja:

10. Zakoni absorpcije — navesti načine za poenostavitev izrazov, ki vključujejo spremenljivko v vseh faktorjih in izrazih:

11. De Morganovi zakoni — inverzija produkta je vsota inverzij spremenljivk:

inverzija vsote je produkt inverzij spremenljivk: