Biot-Savartov zakon in izrek o kroženju vektorja magnetne indukcije

Leta 1820 sta francoska znanstvenika Jean-Baptiste Biot in Félix Savard med skupnimi poskusi preučevanja magnetnih polj enosmernih tokov nedvoumno ugotovila, da je mogoče magnetno indukcijo enosmernega toka, ki teče skozi prevodnik, obravnavati kot rezultat splošno delovanje vseh odsekov te žice s tokom. To pomeni, da magnetno polje upošteva princip superpozicije (načelo superpozicije polj).

Magnetno polje, ki ga ustvari skupina enosmernih žic, ima naslednje magnetna indukcijada je njegova vrednost definirana kot vektorska vsota magnetnih indukcij, ki jih ustvarja vsak prevodnik posebej. To pomeni, da je indukcijo B prevodnika enosmernega toka mogoče pošteno predstaviti z vektorsko vsoto elementarnih indukcij dB, ki pripadajo elementarnim odsekom dl obravnavanega vodnika enosmernega toka I.

Praktično je nerealno izolirati elementarni odsek prevodnika enosmernega toka, ker D.C. vedno zaprto.Lahko pa izmerite celotno magnetno indukcijo, ki jo ustvari žica, to je, ki jo ustvarijo vsi elementarni deli dane žice.

Tako vam Biot-Sovarjev zakon omogoča, da najdete vrednost magnetne indukcije B odseka (znana dolžina dl) prevodnika z danim enosmernim tokom I na določeni razdalji r od tega odseka prevodnika in v določena smer opazovanja iz izbranega odseka (nastavljena skozi sinus kota med smerjo toka in smerjo od odseka vodnika do preiskovane točke v prostoru ob vodniku):

Eksperimentalno je bilo ugotovljeno, da je smer vektorja magnetne indukcije enostavno določiti z desnim vijakom ali pravilom kardanskega obroča: če smer translacijskega gibanja kardanskega obroča med njegovim vrtenjem sovpada s smerjo enosmernega toka I v žici, potem smer vrtenja kardanskega ročaja določa smer vektorja magnetne indukcije B, ki ga proizvaja dani tok.

Magnetno polje ravne žice, po kateri teče tok, in ponazoritev uporabe Bio-Savartovega zakona nanj sta prikazana na sliki:

Torej, če integriramo, to je, dodamo, prispevek vsakega od majhnih odsekov prevodnika s konstantnim tokom k celotnemu magnetnemu polju, dobimo formulo za iskanje magnetne indukcije tokovnega prevodnika pri določenem polmeru R iz tega .

Na enak način lahko z uporabo Bio-Savardovega zakona izračunate magnetne indukcije iz enosmernih tokov različnih konfiguracij in na določenih točkah v prostoru, na primer magnetno indukcijo v središču krožnega kroga s tokom najdemo z naslednja formula:

Smer vektorja magnetne indukcije zlahka najdemo po pravilu gimbala, le da je treba kardan zavrteti v smeri zaprtega toka, premikanje kardana naprej pa bo pokazalo smer vektorja magnetne indukcije.

Pogosto lahko izračune glede na magnetno polje poenostavimo, če upoštevamo simetrijo konfiguracije tokov, ki jih daje generirano polje. Tukaj lahko uporabite izrek o kroženju vektorja magnetne indukcije (kot Gaussov izrek v elektrostatiki). Kaj je "kroženje vektorja magnetne indukcije"?

Izberimo v prostoru določeno zaprto zanko poljubne oblike in pogojno označimo pozitivno smer njenega potovanja.Za vsako točko te zanke najdete projekcijo vektorja magnetne indukcije B na tangento zanke v tej točki. Potem je vsota produktov teh količin z osnovnimi dolžinami vseh odsekov konture kroženje vektorja magnetne indukcije B vzdolž te konture:

Praktično vsi tokovi, ki tukaj ustvarjajo splošno magnetno polje, lahko prodrejo v obravnavano vezje ali pa so nekateri od njih zunaj njega. Po izreku o kroženju: kroženje vektorja magnetne indukcije B enosmernih tokov v zaprti zanki je številčno enako zmnožku magnetne konstante mu0 z vsoto vseh enosmernih tokov, ki prodrejo v zanko. Ta izrek je oblikoval Andre Marie Ampere leta 1826:

Razmislite o zgornji sliki. Tukaj tokovi I1 in I2 prodrejo v vezje, vendar so usmerjeni v različnih smereh, kar pomeni, da imajo pogojno različne znake.Pozitivni predznak bo imel tok, katerega smer magnetne indukcije (po osnovnem pravilu) sovpada s smerjo obvoda izbranega vezja. Za to situacijo ima izrek kroženja obliko:

Na splošno izrek za kroženje vektorja magnetne indukcije B izhaja iz principa superpozicije magnetnega polja in Biot-Savardovega zakona.

Na primer, izpeljemo formulo za magnetno indukcijo prevodnika enosmernega toka. Izberimo konturo v obliki kroga, skozi središče katerega poteka ta žica, žica pa je pravokotna na ravnino konture.

Tako leži središče kroga neposredno v središču vodnika, to je v vodniku. Ker je slika simetrična, je vektor B usmerjen tangencialno na krožnico, zato je njegova projekcija na tangento povsod enaka in enaka dolžini vektorja B. Izrek o kroženju zapišemo takole:

Zato sledi formula za magnetno indukcijo ravnega vodnika z enosmernim tokom (ta formula je že navedena zgoraj). Podobno lahko z uporabo izreka o kroženju zlahka najdemo magnetne indukcije simetričnih konfiguracij enosmernega toka, kjer je sliko silnic polja enostavno vizualizirati.

Eden od praktično pomembnih primerov uporabe izreka o kroženju je iskanje magnetnega polja znotraj toroidnega induktorja.

Predpostavimo, da obstaja toroidna tuljava, navita krog do kroga na kartonskem okvirju v obliki krofa s številom ovojev N. V tej konfiguraciji so črte magnetne indukcije zaprte znotraj krofa in so koncentrične (druga v drugi) krogi v obliki .

Če pogledate v smeri vektorja magnetne indukcije vzdolž notranje osi krofa, se izkaže, da je tok usmerjen povsod v smeri urinega kazalca (v skladu s pravilom gimbala). Razmislite o eni od linij (prikazanih rdeče) magnetne indukcije znotraj tuljave in jo izberite kot krožno zanko s polmerom r. Nato je izrek kroženja za dano vezje zapisan takole:

In magnetna indukcija polja znotraj tuljave bo enaka:

Za tanko toroidno tuljavo, kjer je magnetno polje skoraj enakomerno po celotnem prerezu, je mogoče zapisati izraz za magnetno indukcijo kot za neskončno dolg solenoid, pri čemer upoštevamo število obratov na enoto dolžine - n:

Razmislite zdaj o neskončno dolgem solenoidu, kjer je magnetno polje v celoti znotraj. Na izbrano pravokotno konturo uporabimo izrek kroženja.

Tukaj bo vektor magnetne indukcije dal neničelno projekcijo samo na strani 2 (njegova dolžina je enaka L). Z uporabo parametra n — «število ovojev na enoto dolžine« dobimo takšno obliko izreka o cirkulaciji, ki se na koncu reducira na isto obliko kot za večtonsko toroidno tuljavo: