Simbolična metoda za izračun izmeničnih tokokrogov

Simbolična metoda delovanja z vektorskimi količinami temelji na zelo preprosti ideji: vsak vektor je razdeljen na dve komponenti: eno vodoravno, ki poteka po abscisi, in drugo, navpično, ki poteka po ordinati. V tem primeru vse vodoravne komponente sledijo ravni črti in jih je mogoče sešteti s preprostim algebraičnim seštevanjem, navpične komponente pa se seštevajo na enak način.

Ta pristop na splošno povzroči dve rezultantni komponenti, vodoravno in navpično, ki vedno mejita ena na drugo pod enakim kotom 90°.

Te komponente se lahko uporabijo za iskanje rezultata, to je za geometrijsko seštevanje. Pravokotne komponente predstavljajo krake pravokotnega trikotnika, njihova geometrijska vsota pa hipotenuzo.

Lahko rečete tudi, da je geometrijska vsota številčno enaka diagonali paralelograma, zgrajenega tako na komponentah kot na njegovih stranicah ... Če vodoravno komponento označimo z AG in navpično komponento z AB, potem je geometrijska vsota ( 1)

Iskanje geometrijske vsote pravokotnih trikotnikov je veliko lažje kot poševnih trikotnikov. Lahko je videti, da (2)

postane (1), če je kot med komponentama 90 °. Ker je cos 90 = 0, zadnji člen v radikalnem izrazu (2) izgine, zaradi česar je izraz močno poenostavljen. Upoštevajte, da je treba pred besedo "vsota" dodati eno od treh besed: "aritmetika", "algebraika", "geometrija".

sl. 1.

Beseda "znesek" brez navedbe, kar vodi v negotovost in v nekaterih primerih do hudih napak.

Spomnimo se, da je dobljeni vektor enak aritmetični vsoti vektorjev v primeru, ko gredo vsi vektorji vzdolž ravne črte (ali vzporedno drug z drugim) v isto smer. Poleg tega imajo vsi vektorji znak plus (slika 1, a).

Če gredo vektorji vzdolž ravne črte, vendar kažejo v nasprotnih smereh, potem je njihov rezultat enak algebrski vsoti vektorjev, v tem primeru imajo nekateri členi predznak plus, drugi pa minus.

Na primer, v diagramu na sl. 1, b U6 = U4 — U5. Lahko tudi rečemo, da se aritmetična vsota uporablja v primerih, ko je kot med vektorji enak nič, algebraična, ko sta kota 0 in 180 °. V vseh drugih primerih se dodajanje izvede vektorsko, to je, da se določi geometrijska vsota (slika 1, c).

Primer... Določite parametre ekvivalentnega sinusnega vala za vezje Sl. 2, vendar simbolično.

Odgovori. Narišimo vektorje Um1 Um2 in jih razčlenimo na komponente. Iz risbe je razvidno, da je vsaka horizontalna komponenta vektorska vrednost, pomnožena s kosinusom faznega kota, navpična pa vektorska vrednost, pomnožena s sinusom faznega kota. Potem

sl. 2.

Očitno je, da sta celotni horizontalni in vertikalni komponenti enaki algebraični vsoti ustreznih komponent. Potem

Nastale komponente so prikazane na sl. 2, b. Za to določite vrednost Um, izračunajte geometrijsko vsoto obeh komponent:

Določite ekvivalentni fazni kot ψeq. sl. 2, b, je razvidno, da je razmerje med navpično in vodoravno komponento tangens ekvivalentnega faznega kota.

kje

Tako dobljeni sinusoid ima amplitudo 22,4 V, začetno fazo 33,5 ° z enako periodo kot komponente. Upoštevajte, da je mogoče dodati samo sinusne valove iste frekvence, ker pri dodajanju sinusnih krivulj različnih frekvenc dobljena krivulja preneha biti sinusna in vsi koncepti, ki veljajo samo za harmonične signale, v tem primeru postanejo neveljavni.

Še enkrat poglejmo celotno verigo transformacij, ki jih je treba narediti z matematičnimi opisi harmoničnih valovnih oblik pri izvajanju različnih izračunov.

Najprej se časovne funkcije nadomestijo z vektorskimi slikami, nato se vsak vektor razgradi na dve medsebojno pravokotni komponenti, nato se ločeno izračunata vodoravna in navpična komponenta, na koncu pa se določijo vrednosti nastalega vektorja in njegove začetne faze.

Ta metoda izračuna odpravlja potrebo po grafičnem dodajanju (in v nekaterih primerih izvajanju bolj zapletenih operacij, na primer množenju, deljenju, pridobivanju korenov itd.) Sinusoidnih krivulj in zatekanju k izračunom s formulami poševnih trikotnikov.

Vendar pa je ločeno izračunavanje vodoravne in navpične komponente operacije precej okorno.Pri takšnih izračunih je zelo priročno imeti tak matematični aparat, s katerim lahko izračunate obe komponenti hkrati.

Že konec prejšnjega stoletja je bila razvita metoda, ki omogoča sočasno računanje števil, narisanih na medsebojno pravokotnih oseh. Števila na vodoravni osi so imenovali realna, števila na navpični osi pa namišljena. Pri izračunu teh števil se realnim številom prišteje faktor ± 1, imaginarnim pa ± j (beri "xi"). Števila, sestavljena iz realnih in imaginarnih delov, imenujemo kompleksen, metoda izračunov z njihovo pomočjo pa je simbolična.

Razložimo izraz "simbolno". Funkcije, ki jih je treba izračunati (v tem primeru harmonike), so originali, tisti izrazi, ki nadomestijo originale, pa so slike ali simboli.

Pri uporabi simbolne metode se vsi izračuni ne izvajajo na samih izvirnikih, temveč na njihovih simbolih (slikah), ki v našem primeru predstavljajo ustrezna kompleksna števila, saj je veliko lažje izvajati operacije na slikah kot na samih izvirnikih.

Ko so končane vse slikovne operacije, se izvirnik, ki ustreza nastali sliki, posname na nastalo sliko. Večina izračunov v električnih vezjih se izvede s pomočjo simbolne metode.