Zakaj se za izračune v izmeničnih tokokrogih uporabljajo kompleksna števila

Kot veste, se kompleksna števila uporabljajo za reševanje nekaterih tipičnih problemov v elektrotehniki. Toda za kaj se uporabljajo in zakaj se to dela na ta način? To bomo poskušali razumeti v tem članku. Dejstvo je, da je kompleksna metoda ali metoda kompleksnih amplitud primerna za izračun kompleksnih AC tokokrogov. In za začetek se spomnimo nekaj osnov matematike:

Kot lahko vidite, kompleksno število z vključuje imaginarni in realni del, ki se med seboj razlikujeta in ju v besedilu različno označujemo. Samo kompleksno število z lahko zapišemo v algebraični, trigonometrični ali eksponentni obliki:

Zgodovinsko ozadje

Menijo, da se je ideja o imaginarnih številih začela leta 1545, ko je italijanski matematik, inženir, filozof, zdravnik in astrolog Girolamo Cardano objavil to metodo reševanja enačb v svoji razpravi "Velika umetnost", kjer med drugim , je priznal, da mu je Niccolò dal idejo Tartaglii (italijanskemu matematiku) 6 let pred objavo tega dela. Kradano pri svojem delu rešuje enačbe oblike:

V procesu reševanja teh enačb je bil znanstvenik prisiljen priznati obstoj nekega "nerealnega" števila, katerega kvadrat bo enak minus ena "-1", to je, kot da obstaja kvadratni koren iz a negativno število, in če ga zdaj kvadriramo, se bo izkazalo, da je ustrezno negativno število pod korenom. Cardano je navedel pravilo množenja, po katerem:

Tri stoletja se je matematična skupnost privajala na nov pristop, ki ga je predlagal Cardano. Imaginarna števila se postopoma uveljavljajo, a jih matematiki neradi sprejemajo. Šele z objavo Gaussovih del o algebri, kjer je dokazal temeljni izrek algebre, so bila kompleksna števila končno v celoti sprejeta, 19. stoletje je bilo pred vrati.

Namišljena števila so postala prava rešilna bilka za matematike, saj je bilo najzapletenejše probleme veliko lažje rešiti s sprejetjem obstoja namišljenih števil.

Tako je kmalu prišlo do elektrotehnike. Tokokrogi izmeničnega toka so bili včasih zelo zapleteni in za njihov izračun je bilo treba izračunati veliko integralov, kar je bilo pogosto zelo neprijetno.

Nazadnje je leta 1893 briljantni elektroinženir Carl August Steinmetz nastopil v Chicagu na mednarodnem elektrotehniškem kongresu s poročilom "Kompleksna števila in njihova uporaba v elektrotehniki", ki je dejansko zaznamoval začetek praktične uporabe inženirjev kompleksne metode izračun električnih tokokrogov za izmenični tok.

To vemo iz tečaja fizike izmenični tok — to je tok, ki se s časom spreminja v velikosti in smeri.

V tehniki poznamo različne oblike izmeničnega toka, vendar je danes najpogostejši izmenični sinusni tok, to je tisto, kar se uporablja povsod, s pomočjo katerega se prenaša elektrika, v obliki izmeničnega toka, ki se generira, pretvarja z transformatorjev in ga porabijo bremena. Sinusni tok se periodično spreminja po sinusnem (harmoničnem) zakonu.

Efektivne vrednosti toka in napetosti so manjše od vrednosti amplitude korena dvakrat:

V kompleksni metodi so efektivne vrednosti tokov in napetosti zapisane na naslednji način:

Upoštevajte, da je v elektrotehniki namišljena enota označena s črko «j», saj se črka «i» tukaj že uporablja za označevanje toka.

Od Ohmov zakon določa kompleksno vrednost upora:

Seštevanje in odštevanje kompleksnih vrednosti poteka v algebraični obliki, množenje in deljenje pa v eksponentni obliki.

Razmislimo o metodi kompleksnih amplitud na primeru določenega vezja z določenimi vrednostmi glavnih parametrov.

Primer reševanja problema z uporabo kompleksnih števil

podano:

• napetost tuljave 50 V,

• upornost upora 25 Ohm,

• induktivnost tuljave 500 mH,

• električna kapaciteta kondenzatorja je 30 mikrofaradov,

• upor tuljave 10 Ohm,

• omrežna frekvenca 50 Hz.

Poišči: odčitke ampermetra in voltmetra ter vatmetra.

odgovor:

Za začetek zapišemo kompleksni upor zaporedno vezanih elementov, ki je sestavljen iz realnega in namišljenega dela, nato poiščemo kompleksni upor aktivno-induktivnega elementa.

Spominjanje! Če želite dobiti eksponentno obliko, poiščite modul z, ki je enak kvadratnemu korenu vsote kvadratov realnega in imaginarnega dela, in phi, ki je enak arktangensu kvocienta imaginarnega dela, deljenega z realnim delom.

Nato najdemo tok in s tem odčitke ampermetra:

Ampermeter torej pokaže tok 0,317 A—to je tok skozi celotno zaporedno vezje.

Zdaj bomo našli kapacitivno upornost kondenzatorja, nato pa bomo določili njegovo kompleksno upornost:

Nato izračunamo skupno kompleksno impedanco tega vezja:

Zdaj najdemo efektivno napetost, uporabljeno v vezju:

Voltmeter bo pokazal efektivno napetost 19,5 voltov.

Na koncu poiščemo moč, ki jo bo vatmeter prikazal ob upoštevanju fazne razlike med tokom in napetostjo

Vatmeter bo pokazal 3,51 vata.

Zdaj razumete, kako pomembna so kompleksna števila v elektrotehniki. Uporabljajo se za priročen izračun električnih tokokrogov. Veliko elektronskih merilnih naprav deluje na isti osnovi.