Zakoni algebre kontaktnih vezij, Boolove algebre

Analitični zapis o strukturi in delovnih pogojih relejnih vezij omogoča izvajanje analitičnih ekvivalentnih transformacij vezij, to je s preoblikovanjem strukturnih formul, iskanje shem, podobnih v njihovem delovanju. Metode pretvorbe so posebej v celoti razvite za strukturne formule, ki izražajo kontaktna vezja.

Za kontaktna vezja se uporablja matematični aparat algebre logike, natančneje ena njenih najpreprostejših različic, imenovana propozicijski račun ali Boolova algebra (po matematiku prejšnjega stoletja J. Boole).

Propozicijski račun je bil prvotno razvit za preučevanje odvisnosti (resnice ali zmotnosti zapletenih sodb od resničnosti ali zmotnosti preprostih propozicij, ki jih sestavljajo. V bistvu je propozicijski račun algebra dveh števil, to je algebra v kjer ima lahko vsak posamezni argument in vsaka funkcija eno od dveh vrednosti.

To določa možnost uporabe Boolove algebre za transformacijo kontaktnih vezij, saj lahko vsak od argumentov (kontaktov), ​​vključenih v strukturno formulo, sprejme samo dve vrednosti, to je, da je lahko zaprt ali odprt, in celotna funkcija, ki jo predstavlja strukturna formula lahko izraža zaprto ali odprto zanko.

Logična algebra uvaja:

1) predmeti, ki imajo, tako kot v navadni algebri, imena: neodvisne spremenljivke in funkcije - vendar pa lahko za razliko od navadne algebre v Boolovi algebri oba sprejmeta samo dve vrednosti: 0 in 1;

2) osnovne logične operacije:

• logični dodatek (ali disjunkcija, logični ALI, označen z znakom?), ki je definiran takole: rezultat operacije je 0, če in samo če so vsi argumenti operacije enaki 0, sicer je rezultat 1;

• logično množenje (ali veriženje, logični IN, označeno z ? ali sploh ni določeno), ki je definirano takole: rezultat operacije je 1, če in samo če so vsi argumenti operacije enaki 1, sicer je rezultat je 0;

• negacija (ali obratno, logični NE, označen s črtico nad argumentom), ki je definirana takole: rezultat operacije ima nasprotno vrednost argumenta;

3) aksiomi (zakoni Boolove algebre), ki določajo pravila za preoblikovanje logičnih izrazov.

Upoštevajte, da je vsako od logičnih operacij mogoče izvesti tako na spremenljivkah kot na funkcijah, ki jih bomo spodaj imenovali logične funkcije ... Spomnimo se, da ima po analogiji z navadno algebro v logični algebri operacija logičnega množenja prednost pred logičnim operacija dodajanja.

Logični izrazi so oblikovani s kombiniranjem logičnih operacij na številnih objektih (spremenljivkah ali funkcijah), imenovanih argumenti operacije.

Preoblikovanje logičnih izrazov z uporabo zakonov Boolove algebre se običajno izvaja z namenom minimiziranja, saj enostavnejši kot je izraz, manjša je kompleksnost logične verige, ki je tehnična izvedba logičnega izraza.

Zakoni Boolove algebre so predstavljeni kot niz aksiomov in posledic. Te je mogoče preprosto preveriti z zamenjavo različnih vrednosti spremenljivk.

Tehnični analog katerega koli logičnega izraza za logično funkcijo je logični diagram... V tem primeru so spremenljivke, od katerih je odvisna logična funkcija, povezane z zunanjimi vhodi tega vezja, vrednost logične funkcije se oblikuje na zunanji izhod vezja in vsako logično operacijo v logičnem izrazu an izvaja logični element.

Tako se za vsak niz vhodnih signalov na izhodu logičnega vezja ustvari signal, ki ustreza vrednosti logične funkcije tega niza spremenljivk (v nadaljevanju bomo uporabljali naslednjo konvencijo: 0 — nizka raven signala). , 1 — visoka raven signala).

Pri konstruiranju logičnih vezij bomo predpostavili, da se spremenljivke dovajajo na vhod v parafazni kodi (to pomeni, da so na voljo tako neposredne kot inverzne vrednosti spremenljivk).

Tabela 1 prikazuje običajne grafične oznake nekaterih logičnih elementov v skladu z GOST 2.743-91, pa tudi njihove tuje analoge.

Poleg elementov, ki izvajajo tri operacije Boolove algebre (IN, ALI, NE), v tab. 1 prikazuje elemente, ki izvajajo operacije, ki izhajajo iz glavnega:

— IN -NE — zanikanje logičnega množenja, imenovano tudi Schaeferjeva poteza (označeno z |)

— ALI -NE — zanikanje logičnega komplementa, imenovano tudi Peirceova puščica (označeno z ?)

S serijskim povezovanjem logičnih vrat lahko implementirate katero koli logično funkcijo.

Strukturnih formul, ki izražajo relejna vezja na splošno, tj. ki vsebujejo simbole reagirajočih orlov, ni mogoče obravnavati kot funkcije dveh vrednosti, ki izražata samo zaprto ali odprto vezje. Zato se pri delu s takšnimi funkcijami pojavijo številne nove odvisnosti, ki presegajo meje Boolove algebre.

V Boolovi algebri obstajajo štirje pari osnovnih zakonov: dva premaknitvena, dva kombinatorična, dva distribucijska in dva zakonita inverzije. Ti zakoni vzpostavljajo enakovrednost različnih izrazov, to pomeni, da upoštevajo izraze, ki jih je mogoče nadomestiti drug z drugim, kot je zamenjava identitet v navadni algebri. Kot ekvivalenčni simbol vzamemo simbol, ki je enak simbolu enakosti v navadni algebri (=).

Veljavnost zakonov Boolove algebre za kontaktna vezja bomo ugotovili z upoštevanjem vezij, ki ustrezajo levi in ​​desni strani ekvivalentnih izrazov.

Zakoni o potovanju

Seštejemo: x + y = y + x

Sheme, ki ustrezajo tem izrazom, so prikazane na sl. 1, a.

Levi in ​​desni tokokrog sta običajno odprta tokokroga, ki se ob sprožitvi enega od elementov (X ali Y) zapreta, to pomeni, da sta tokokroga enakovredna. Za množenje: x ·y = y ·NS.

Sheme, ki ustrezajo tem izrazom, so prikazane na sl. 1b je očitna tudi njihova enakovrednost.

riž. 1

Zakoni kombiniranja

Za seštevanje: (x + y) + z = x + (y + z)

Za množenje: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Pari ekvivalentnih vezij, ki ustrezajo tem izrazom, so prikazani na sl. 2, a, b

riž. 2

Distribucijski zakoni

Množenje proti seštevanju: (x + y) + z = x + (y + z)

Seštevanje proti množenju. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Sheme, ki ustrezajo tem izrazom, so prikazane na sl. 3, a, b.

riž. 3.

Enakovrednost teh shem je mogoče enostavno preveriti z upoštevanjem različnih kombinacij kontaktne aktivacije.

Zakoni inverzije

Pri seštevanju: NS + c = NS·c

Vrstica nad levo stranjo izraza je znak za negiranje ali inverzijo. Ta znak označuje, da ima celotna funkcija nasproten pomen glede na izraz pod znakom za negiranje. Diagrama, ki ustreza celotni inverzni funkciji, ni mogoče narisati, lahko pa narišemo diagram, ki ustreza izrazu pod negativnim predznakom. Tako lahko formulo ponazorimo z diagrami, prikazanimi na sl. 4, a.

riž. 4.

Levi diagram ustreza izrazu x + y, desni pa NS ·c

Ta dva tokokroga sta si v delovanju nasprotna, in sicer: če je levi tokokrog z nevzbujenimi elementi X, Y odprt tokokrog, potem je desni tokokrog zaprt. Če se v levem vezju, ko se sproži eden od elementov, vezje zapre, v desnem vezju pa se, nasprotno, odpre.

Ker je po definiciji negativnega predznaka funkcija x + y inverzna funkciji x + y, potem je očitno, da je x + y = NS·in.

Glede množenja: NS · c = NS + c

Ustrezne sheme so prikazane na sl. 4, b.

Translokativni in kombinacijski ter zakoni in distribucijski zakon množenja glede na seštevanje (ustrezajo podobnim zakonom navadne algebre).Zato lahko v primeru preoblikovanja strukturnih formul v vrstnem redu seštevanja in množenja izrazov, postavitve izrazov zunaj oklepajev in razširitve oklepajev sledite pravilom, določenim za delo z običajnimi algebrskimi izrazi. Distributivni zakon seštevanja glede na množenje in zakoni inverzije so specifični za Boolovo algebro.