Številski sistemi

Številski sistem je niz pravil za predstavitev števil z različnimi številskimi znaki. Številske sisteme delimo na dve vrsti: nepozicijske in pozicijske.

V pozicijskih številskih sistemih vrednost posamezne števke ni odvisna od položaja, ki ga zaseda, to je od mesta, ki ga zaseda v nizu števk. V sistemu rimskih številk je samo sedem števk: ena (I), pet (V), deset (X), petdeset (L), sto (C), petsto (D), tisoč (M). S temi številkami (simboli) zapišemo preostala števila s seštevanjem in odštevanjem. Na primer, IV je zapis števila 4 (V — I), VI je število 6 (V + I) in tako naprej. Število 666 je v rimskem sistemu zapisano takole: DCLXVI.

Ta zapis je manj priročen od tistega, ki ga trenutno uporabljamo. Tukaj je šest napisanih z enim simbolom (VI), šest desetic z drugim (LX), šeststo in tretji (DC). Zelo težko je izvajati aritmetične operacije s števili, zapisanimi v sistemu rimskih številk. Poleg tega je pogosta pomanjkljivost nepozicijskih sistemov zapletenost predstavljanja dovolj velikih števil v njih, kar povzroči izjemno okoren zapis.

Zdaj razmislite o istem številu 666 v pozicijskem številskem sistemu. V njem posamezen znak 6 pomeni število enic, če je na zadnjem mestu, število desetic, če je na predzadnjem mestu, in število stotic, če je na tretjem mestu od konca. Ta princip pisanja številk se imenuje pozicijski (lokalni). V takem zapisu prejme vsaka številka številsko vrednost, ki ni odvisna le od njenega sloga, ampak tudi od tega, kje stoji, ko je številka zapisana.

V pozicijskem številskem sistemu lahko vsako število, predstavljeno kot A = +a1a2a3 … ann-1an, predstavimo kot vsoto

kjer je n — končno število števk v podobi števila, ii številka i-go cifra, d — osnova številskega sistema, i — zaporedna številka kategorije, dm-i — "teža" kategorije i-ro . Številke ai morajo izpolnjevati neenakost 0 <= a <= (d — 1).

Za decimalni zapis je d = 10 in ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ker lahko števila, sestavljena iz enic in ničel, zaznavamo kot decimalna ali binarna števila, če jih uporabljamo skupaj, je običajno navedena osnova številskega sistema, na primer (1100)2-binarno, (1100)10-decimalno.

V digitalnih računalnikih se široko uporabljajo sistemi, ki niso decimalni: binarni, oktalni in šestnajstiški.

Dvojiški sistem

Za ta sistem je d = 2 in tukaj sta dovoljeni le dve števki, tj. ai = 0 ali 1.

Vsako število, izraženo v dvojiškem sistemu, je predstavljeno kot vsota zmnožka potence osnove in dvojiške števke danega bita. Število 101,01 lahko na primer zapišemo takole: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, kar ustreza številu v decimalnem sistemu: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

V večini sodobnih digitalnih računalnikov se binarni številski sistem uporablja za predstavitev števil v stroju in izvajanje aritmetičnih operacij z njimi.

Dvojiški številski sistem v primerjavi z decimalnim omogoča poenostavitev vezij in vezij aritmetične naprave in pomnilnika ter povečanje zanesljivosti računalnika. Števka vsakega bita binarnega števila je predstavljena s stanjem «vklop / izklop» elementov, kot so tranzistorji, diode, ki zanesljivo delujejo v stanju «vklop / izklop». Pomanjkljivosti binarnega sistema vključujejo potrebo po prevajanju izvirnih digitalnih podatkov v binarni številski sistem s posebnim programom in rezultate odločitve v decimalni.

Osmiški številski sistem

Ta sistem ima osnovo d == 8. Številke se uporabljajo za predstavitev števil: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Osmiški številski sistem se v računalniku uporablja kot pomoč pri pripravi problemov za reševanje (v procesu programiranja), pri preverjanju delovanja stroja in pri odpravljanju napak v programu. Ta sistem daje krajšo predstavitev števila kot binarni sistem. Osmiški številski sistem omogoča preprost prehod na dvojiški sistem.

Šestnajstiški številski sistem

Ta sistem ima osnovo d = 16. Za predstavitev števil se uporablja 16 znakov: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F in znaki A … F predstavljajo decimalna števila 10, 11, 12, 13, 14 in 15. Šestnajstiško število (1D4F) 18 bo ustrezalo decimalnemu 7503, ker je (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

Šestnajstiški zapis omogoča, da so binarna števila zapisana bolj kompaktno kot oktalno. Najde uporabo v vhodnih in izhodnih napravah ter napravah za prikaz številčnega reda nekaterih računalnikov.

Dvojiško-decimalni številski sistem

Predstavitev števil v dvojiško-decimalnem sistemu je naslednja. Za osnovo vzamemo decimalni zapis števila, nato pa vsako njegovo števko (od 0 do 9) zapišemo v obliki štirimestnega binarnega števila, imenovanega tetrada, kar pomeni, da se za predstavitev ne uporablja noben znak. vsako števko decimalnega sistema, ampak štiri.

Na primer, decimalno število 647,59 bi ustrezalo BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Dvojiško-decimalni številski sistem se uporablja kot vmesni številski sistem in za kodiranje vhodnih in izhodnih števil.

Pravila za prenos enega številskega sistema v drugega

Izmenjava informacij med računalniškimi napravami se izvaja predvsem s pomočjo števil, predstavljenih v binarnem številskem sistemu. Vendar so informacije uporabniku predstavljene v številkah v decimalnem sistemu, naslavljanje ukazov pa v osmiškem sistemu. Od tod tudi potreba po prenosu številk iz enega sistema v drugega v procesu dela z računalnikom. Če želite to narediti, uporabite naslednje splošno pravilo.

Če želite pretvoriti celo število iz katerega koli številskega sistema v drugega, je treba to število zaporedoma deliti z osnovo novega sistema, dokler količnik ni manjši od delitelja. Število v novem sistemu mora biti zapisano v obliki ostankov deljenja, začenši z zadnjim, torej od desne proti levi.

Na primer, pretvorimo decimalno število 1987 v dvojiško:

Decimalno število 1987 v binarni obliki je 11111000011, tj. (1987)10 = (11111000011)2

Pri prehodu iz katerega koli sistema v decimalko se število predstavi kot vsota potence osnove z ustreznimi koeficienti, nato pa se izračuna vrednost vsote.

Na primer, pretvorimo osmiško število 123 v decimalno: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, tj. (123)8 = (83)10

Za prenos delnega dela števila iz katerega koli sistema v drugega je potrebno izvesti zaporedno množenje tega ulomka in nastalih delnih delov produkta na podlagi novega številskega sistema. Delni del števila v novem sistemu se oblikuje v obliki celih delov nastalih izdelkov, začenši s prvim. Postopek množenja se nadaljuje, dokler ni izračunano število z dano natančnostjo.

Na primer, pretvorimo decimalni ulomek 0,65625 v binarni številski sistem:

Ker je ulomek petega zmnožka sestavljen le iz ničel, je nadaljnje množenje nepotrebno. To pomeni, da se dana decimalka brez napak pretvori v dvojiško, tj. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Pretvarjanje iz osmiškega in šestnajstiškega v binarno in obratno ni težko. To je zato, ker njihovi osnovi (d — 8 in d — 16) ustrezata celima dvema (23 = 8 in 24 = 16).

Za pretvorbo osmiških ali šestnajstiških števil v binarno je dovolj, da vsako njihovo število zamenjate s tri- oziroma štirimestnim binarnim številom.

Na primer, prevedimo osmiško število (571)8 in šestnajstiško število (179)16 v dvojiški številski sistem.

V obeh primerih dobimo enak rezultat, tj. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Če želite pretvoriti število iz dvojiško-decimalnega v decimalno, morate zamenjati vsako tetrado števila, predstavljenega v binarno-decimalnem sistemu, s številko, predstavljeno v decimalnem sistemu.

Na primer, zapišimo število (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 v decimalnem zapisu, tj. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 = (218.625)